Numeração posicional

Numa numeração posicional bastam poucos algarismos para escrever qualquer número, porque o valor de cada um depende do lugar que ocupa. Com um zero a marcar o lugar vazio, somas, multiplicações e divisões fazem-se por escrito, coluna a coluna, sem tabuleiro de contar.

O que é

Em 707, o primeiro sete conta centenas e o último conta unidades. Toda a numeração posicional está aqui: um pequeno conjunto de sinais cujo valor depende do sítio onde estão. Com os dez algarismos de 0 a 9 escreve-se qualquer número inteiro, por maior que seja, sem nunca precisar de um sinal novo.

Os sistemas mais antigos somavam os seus sinais. Os escribas egípcios tinham um sinal para as unidades, outro para as dezenas, outro para as centenas, e repetiam cada um as vezes necessárias. Em numerais romanos, 1888 escreve-se MDCCCLXXXVIII, treze sinais. Servem para registar um total, mas calcula-se mal com eles. Por isso os contabilistas romanos e medievais trabalhavam num tabuleiro de contar e só escreviam o resultado.

A numeração posicional transforma o número escrito num tabuleiro de contar no papel, de modo que o próprio cálculo pode ser escrito e verificado. Quem o torna possível é o zero, que primeiro marcou um lugar vazio e depois passou a ser um número de pleno direito.

Como funciona

Um número babilónico era impresso na argila húmida, uma cunha de cada vez.

A base é a quantidade de algarismos diferentes, e cada lugar vale essa quantidade de vezes o lugar à sua direita. Em base dez, 2748 significa 2 milhares, 7 centenas, 4 dezenas e 8 unidades. Em 1081, o zero diz que não há centenas; sem ele, 1081 e 181 confundir-se-iam.

As outras bases seguem a mesma regra. Os escribas babilónicos contavam de sessenta em sessenta com duas marcas: a cunha vertical para o um e a cunha em ângulo para o dez. Mil são 16 sessentenas e 40: escrevia-se 16 e depois 40. Os maias contavam de vinte em vinte, com um ponto para o um, uma barra para o cinco e uma concha para o zero, e empilhavam os lugares de baixo para cima. Mil são duas vezes quatrocentos, dez vintenas e nenhuma unidade: dois pontos sobre duas barras sobre uma concha. Nas datas do calendário, o terceiro lugar contava 360 dias em vez de 400. Os computadores trabalham em base dois, em que 13 se escreve 1101: um oito, um quatro, nenhum dois e uma unidade.

Quando uma coluna chega a dez ou mais, escrevem-se as suas unidades e as dezenas passam para a coluna seguinte; quando não chega, pede-se um emprestado à esquerda. Deslocar um número um lugar para a esquerda multiplica-o por dez, pelo que 47 × 23 é 47 × 3 mais 47 × 20: 141 + 940 = 1081. A tabuada até 9 × 9 basta para multiplicar dois números quaisquer. A divisão longa avança da esquerda, um lugar de cada vez: procura-se um algarismo do quociente, multiplica-se, subtrai-se e baixa-se o algarismo seguinte.

Como construir

É preciso uma tábua lisa ou um pedaço de areia alisada, giz ou um pau, uns quarenta seixos, papel e um lápis.

Traçar o tabuleiro. Trace quatro linhas paralelas afastadas um palmo: de baixo para cima, unidades, dezenas, centenas e milhares. Feitos todos os transportes, nenhuma linha fica com mais de nove seixos.

Dispor um número. Para 2748, ponha 2 seixos na linha dos milhares, 7 na das centenas, 4 na das dezenas e 8 na das unidades. Uma linha vazia é um zero.

O transporte no tabuleiro: dez contadores de uma linha trocam-se por um só na linha de cima.

Somar com transporte. Some 1375 pondo 1, 3, 7 e 5 seixos nas mesmas linhas. A linha das unidades tem agora 13: tire dez, ponha um na das dezenas e ficam 3. A das dezenas tem então 12; volte a transportar e faça o mesmo com as centenas. O tabuleiro mostra 4123.

Multiplicar. Esvazie o tabuleiro. Para 47 × 23, disponha 47 três vezes, fazendo os transportes pelo caminho: 141. Disponha depois mais duas vezes 47, mas cada seixo uma linha acima do habitual, o que acrescenta 940. Transporte e leia 1081.

Passar ao papel. Faça as mesmas contas em colunas, com o algarismo transportado escrito em pequeno por cima da coluna seguinte. Cada coluna é uma linha do tabuleiro, cada algarismo um número de seixos, cada 0 uma linha vazia.

Mudar de base. Para escrever 4000 segundos em base sessenta, divida por 60: 66, resto 40. Divida 66 por 60: 1, resto 6. Leia o último quociente e depois os restos de trás para a frente: 1, 6 e 40, ou seja, 1 hora, 6 minutos e 40 segundos.

Segurança. Seixos pequenos podem causar asfixia em crianças pequenas. Escolha pedras demasiado grandes para serem engolidas ou guarde o tabuleiro fora do seu alcance.

História e evolução

O uso mais antigo datado com certeza é uma tábua de rascunho de Ur, de 2043 a.C., que soma pesos em base sessenta. Por volta de 1800 a.C., as tábuas escolares babilónicas usam-no correntemente. Não havia zero nem sinal que separasse os inteiros das frações, e o leitor deduzia a ordem de grandeza pelo contexto. A partir de cerca de 700 a.C., alguns escribas põem um sinal num lugar vazio no meio de um número, nunca no fim. Os astrónomos gregos conservaram a base sessenta para as frações, e é por isso que a hora e o grau ainda têm sessenta minutos.

Os maias chegaram sozinhos ao valor posicional e ao zero. As datas em Conta Longa surgem no sul do México a partir do século I a.C., e estelas de Uaxactún datadas de 357 escrevem os lugares vazios com um sinal do zero.

No fim da Idade Média, na Europa ainda se contava muitas vezes com contadores de latão sobre um pano riscado.

Os nossos algarismos vêm da Índia. Em 628, Brahmagupta definiu o zero como um número menos ele próprio e deu regras para calcular com ele, embora a sua regra de que zero a dividir por zero dá zero esteja errada. O manuscrito de Bakhshali, encontrado perto de Peshawar em 1881, escreve o zero com um ponto; três das suas folhas, datadas por radiocarbono em 2017, vão do século III ao X, e a data do texto é discutida. O zero datado mais antigo e indiscutido da Índia está em Gwalior, em 876.

Na Bagdade do século IX, al-Khwarizmi escreveu um livro sobre o cálculo indiano, conservado apenas em latim; do seu nome vem a palavra algoritmo. Fibonacci aprendeu os algarismos no Norte de África e ensinou-os no seu Liber abaci de 1202. Em 1299, a corporação dos cambistas de Florença proibiu-os nos seus livros de contas, e os tabuleiros de contar continuaram em uso no norte da Europa até ao século XVI.