Numeración posicional

En una numeración posicional bastan unas pocas cifras para escribir cualquier número, porque el valor de cada una depende del lugar que ocupa. Con un cero que marca el lugar vacío, sumas, multiplicaciones y divisiones se resuelven por escrito, columna a columna, sin tablero de cálculo.

Qué es

En 707, el primer siete cuenta centenas y el último, unidades. Ahí está toda la numeración posicional: un pequeño juego de signos cuyo valor depende del sitio donde se colocan. Las diez cifras del 0 al 9 bastan para escribir cualquier número entero, por grande que sea.

Los sistemas más antiguos sumaban sus signos. Los escribas egipcios tenían un signo para las unidades, otro para las decenas, otro para las centenas, y repetían cada uno tantas veces como hiciera falta. En números romanos, 1888 se escribe MDCCCLXXXVIII, trece signos. Sirven para anotar un total, pero se calcula mal con ellos, así que los contables romanos y medievales trabajaban sobre un tablero de cálculo y solo escribían el resultado.

La numeración posicional convierte el número escrito en un tablero de cálculo sobre el papel, de modo que la propia cuenta puede anotarse y comprobarse. Lo hace posible el cero, primero marca de un lugar vacío y después número por derecho propio.

Cómo funciona

Un número babilonio se imprimía en la arcilla húmeda, cuña a cuña.

La base es la cantidad de cifras distintas, y cada lugar vale esa cantidad de veces el lugar situado a su derecha. En base diez, 2748 significa 2 millares, 7 centenas, 4 decenas y 8 unidades. En 1081, el cero indica que no hay centenas; sin él, 1081 y 181 se confundirían.

Las demás bases siguen la misma regla. Los escribas babilonios contaban de sesenta en sesenta con dos marcas: la cuña vertical para el uno y la cuña en ángulo para el diez. Mil son 16 sesentenas y 40: se escribía 16 y después 40. Los mayas contaban de veinte en veinte, con un punto para el uno, una barra para el cinco y una concha para el cero, y apilaban los lugares de abajo arriba. Mil son dos veces cuatrocientos, diez veintenas y ninguna unidad: dos puntos sobre dos barras sobre una concha. En las fechas del calendario, el tercer lugar contaba 360 días en vez de 400. Los ordenadores trabajan en base dos, en la que 13 se escribe 1101: un ocho, un cuatro, ningún dos y una unidad.

Cuando una columna llega a diez o más, se escriben sus unidades y se llevan sus decenas a la columna siguiente; cuando no alcanza, se pide prestada una a la izquierda. Correr un número un lugar a la izquierda lo multiplica por diez, así que 47 × 23 es 47 × 3 más 47 × 20: 141 + 940 = 1081. La tabla de multiplicar hasta 9 × 9 basta para multiplicar dos números cualesquiera. La división larga avanza desde la izquierda, un lugar cada vez: se busca una cifra del cociente, se multiplica, se resta y se baja la cifra siguiente.

Cómo construirlo

Hace falta una tabla lisa o un trozo de arena alisada, tiza o un palo, unos cuarenta guijarros, papel y un lápiz.

Trazar el tablero. Trace cuatro líneas paralelas separadas por un palmo: desde abajo, unidades, decenas, centenas y millares. Una vez hechas todas las llevadas, ninguna línea tiene más de nueve piedras.

Colocar un número. Para 2748, ponga 2 piedras en la línea de los millares, 7 en las centenas, 4 en las decenas y 8 en las unidades. Una línea vacía es un cero.

Llevar en el tablero: diez fichas de una línea se cambian por una sola en la línea de arriba.

Sumar llevando. Sume 1375 poniendo 1, 3, 7 y 5 piedras en las mismas líneas. La línea de las unidades tiene ahora 13: quite diez, ponga una en la de las decenas y quedan 3. La de las decenas tiene entonces 12; vuelva a llevar y haga lo mismo con las centenas. El tablero marca 4123.

Multiplicar. Vacíe el tablero. Para 47 × 23, coloque tres veces 47, llevando sobre la marcha: 141. Coloque luego dos veces más 47, pero cada piedra una línea más arriba de lo normal, lo que suma 940. Lleve y lea 1081.

Pasar al papel. Haga las mismas cuentas en columnas, con la cifra que se lleva escrita en pequeño sobre la columna siguiente. Cada columna es una línea del tablero, cada cifra un número de piedras, cada 0 una línea vacía.

Cambiar de base. Para escribir 4000 segundos en base sesenta, divida entre 60: 66, resto 40. Divida 66 entre 60: 1, resto 6. Lea el último cociente y después los restos hacia atrás: 1, 6 y 40, es decir, 1 hora, 6 minutos y 40 segundos.

Seguridad. Las piedras pequeñas pueden provocar asfixia en niños pequeños. Elija piedras demasiado grandes para tragarlas o guarde el tablero fuera de su alcance.

Historia y evolución

El uso más antiguo fechado con certeza es una tablilla de borrador de Ur, de 2043 a. C., que suma pesos en base sesenta. Hacia 1800 a. C., las tablillas escolares babilonias lo usan con toda normalidad. No había cero ni marca que separase los enteros de las fracciones, de modo que el lector deducía el orden de magnitud por el contexto. Desde aproximadamente el 700 a. C., algunos escribas ponen un signo en un lugar vacío dentro de un número, nunca al final. Los astrónomos griegos conservaron la base sesenta para las fracciones, y por eso la hora y el grado siguen teniendo sesenta minutos.

Los mayas llegaron por su cuenta al valor posicional y al cero. Las fechas de Cuenta Larga aparecen en el sur de México desde el siglo I a. C., y estelas de Uaxactún fechadas en 357 escriben los lugares vacíos con un signo del cero.

A finales de la Edad Media, en Europa aún se contaba a menudo con fichas de latón sobre un paño rayado.

Nuestras cifras vienen de la India. En 628, Brahmagupta definió el cero como un número menos sí mismo y dio reglas para calcular con él, aunque se equivocó al afirmar que cero entre cero es cero. El manuscrito de Bakhshali, hallado cerca de Peshawar en 1881, escribe el cero con un punto; tres de sus hojas, fechadas por radiocarbono en 2017, van del siglo III al X, y la fecha del texto se discute. El cero fechado más antiguo e indiscutido de la India está en Gwalior, en 876.

En el Bagdad del siglo IX, al-Juarismi escribió un libro sobre el cálculo indio, conservado solo en latín; de su nombre viene la palabra algoritmo. Fibonacci aprendió las cifras en el norte de África y las enseñó en su Liber abaci de 1202. En 1299, el gremio de cambistas de Florencia las prohibió en sus libros de cuentas, y los tableros de cálculo siguieron en uso en el norte de Europa hasta el siglo XVI.