Stellenwertsystem

In einem Stellenwertsystem genügen wenige Ziffern, um jede Zahl zu schreiben, denn der Wert einer Ziffer hängt von der Stelle ab, an der sie steht. Mit einer Null für eine leere Stelle lassen sich Additionen, Multiplikationen und Divisionen schriftlich lösen, Spalte für Spalte und ohne Rechenbrett.

Was es ist

In 707 zählt die erste Sieben Hunderter, die letzte Einer. Darin steckt das ganze Stellenwertsystem: ein kleiner Satz von Zeichen, deren Wert davon abhängt, wo sie stehen. Mit den zehn Ziffern von 0 bis 9 lässt sich jede ganze Zahl schreiben, so groß sie auch sei, ohne dass je ein neues Zeichen nötig wäre.

Ältere Systeme zählten ihre Zeichen zusammen. Ägyptische Schreiber hatten ein Zeichen für die Einer, eines für die Zehner, eines für die Hunderter und wiederholten jedes so oft wie nötig. In römischen Zahlen ist 1888 MDCCCLXXXVIII, dreizehn Zeichen. Solche Zahlen halten eine Summe gut fest, doch rechnen lässt sich mit ihnen schlecht. Römische und mittelalterliche Rechnungsführer arbeiteten deshalb auf einem Rechenbrett und schrieben nur das Ergebnis auf.

Das Stellenwertsystem macht aus der geschriebenen Zahl ein Rechenbrett auf dem Papier, sodass sich die Rechnung selbst aufschreiben und nachprüfen lässt. Möglich wird das durch die Null. Sie markierte zuerst eine leere Stelle und wurde dann zu einer eigenen Zahl.

Wie es funktioniert

Eine babylonische Zahl wurde Keil für Keil in feuchten Ton gedrückt.

Die Basis ist die Zahl der verschiedenen Ziffern, und jede Stelle zählt das Basisfache der Stelle rechts daneben, im Zehnersystem also das Zehnfache. Im Zehnersystem bedeutet 2748 zwei Tausender, sieben Hunderter, vier Zehner und acht Einer. In 1081 sagt die Null, dass es keine Hunderter gibt; ohne sie sähen 1081 und 181 gleich aus.

Andere Basen folgen derselben Regel. Babylonische Schreiber rechneten in Sechzigern, mit zwei Zeichen: dem senkrechten Keil für eins und dem Winkelhaken für zehn. Tausend sind 16 Sechziger und 40, geschrieben als 16, dann 40. Die Maya rechneten in Zwanzigern, mit einem Punkt für eins, einem Strich für fünf und einer Muschel für null, und stapelten die Stellen von unten nach oben. Tausend sind 2 Vierhunderter, 10 Zwanziger und keine Einer: zwei Punkte über zwei Strichen über einer Muschel. In Kalenderdaten zählte die dritte Stelle 360 Tage statt 400. Computer rechnen im Zweiersystem, in dem 13 als 1101 erscheint: eine Acht, eine Vier, keine Zwei und eine Eins.

Erreicht eine Spalte zehn oder mehr, schreibt man ihre Einer hin und überträgt ihre Zehner in die nächste Spalte; reicht sie nicht, borgt man eins von links. Rückt eine Zahl um eine Stelle nach links, wird sie mit zehn malgenommen. So ist 47 × 23 dasselbe wie 47 × 3 plus 47 × 20, also 141 + 940 = 1081. Das kleine Einmaleins bis 9 × 9 reicht, um zwei beliebige Zahlen zu multiplizieren. Die schriftliche Division arbeitet von links, Stelle für Stelle: eine Ziffer des Ergebnisses schätzen, malnehmen, abziehen, die nächste Ziffer herunterholen.

Wie man es baut

Man braucht ein ebenes Brett oder eine Fläche aus glattem Sand, Kreide oder einen Stock, etwa vierzig Kiesel, Papier und einen Bleistift.

Das Brett anlegen. Ziehen Sie vier parallele Linien im Abstand einer Handbreite: von unten Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Sind alle Überträge gemacht, liegen auf keiner Linie mehr als neun Steine.

Eine Zahl legen. Für 2748 legen Sie 2 Steine auf die Tausenderlinie, 7 auf die Hunderter, 4 auf die Zehner und 8 auf die Einer. Eine leere Linie steht für null.

Der Übertrag auf dem Brett: Zehn Steine auf einer Linie werden gegen einen einzigen auf der nächsthöheren getauscht.

Mit Übertrag addieren. Addieren Sie 1375, indem Sie 1, 3, 7 und 5 Steine auf dieselben Linien legen. Auf der Einerlinie liegen nun 13: Nehmen Sie zehn weg und legen Sie einen auf die Zehnerlinie, dann bleiben 3. Auf der Zehnerlinie liegen jetzt 12, also wieder übertragen, ebenso bei den Hundertern. Das Brett zeigt 4123.

Multiplizieren. Räumen Sie das Brett ab. Für 47 × 23 legen Sie dreimal 47 und machen die Überträge gleich mit: 141. Dann legen Sie noch zweimal 47, jeden Stein aber eine Linie höher als sonst; das fügt 940 hinzu. Übertragen und 1081 ablesen.

Aufs Papier bringen. Rechnen Sie dieselben Aufgaben in Spalten, den Übertrag klein über der nächsten Spalte. Jede Spalte ist eine Linie des Bretts, jede Ziffer eine Zahl von Steinen, jede 0 eine leere Linie.

Die Basis wechseln. Um 4000 Sekunden im Sechzigersystem zu schreiben, teilen Sie durch 60: 66, Rest 40. Teilen Sie 66 durch 60: 1, Rest 6. Lesen Sie den letzten Quotienten und dann die Reste rückwärts: 1, 6 und 40, also 1 Stunde, 6 Minuten und 40 Sekunden.

Sicherheit. Kleine Kiesel können von Kleinkindern verschluckt werden und zum Ersticken führen. Wählen Sie Steine, die zu groß zum Verschlucken sind, oder bewahren Sie das Brett außer Reichweite auf.

Geschichte und Entwicklung

Der älteste sicher datierte Beleg ist eine Notiztafel aus Ur von 2043 v. Chr., die Gewichte im Sechzigersystem zusammenzählt. Um 1800 v. Chr. verwenden babylonische Schultafeln den Stellenwert ganz selbstverständlich. Es gab weder eine Null noch ein Zeichen, das ganze Zahlen von Brüchen trennte, und der Leser schloss aus dem Zusammenhang auf die Größenordnung. Ab etwa 700 v. Chr. setzten manche Schreiber ein Zeichen in eine leere Stelle innerhalb einer Zahl, nie an ihr Ende. Griechische Astronomen behielten die Basis 60 für Brüche bei; daher haben Stunde und Grad bis heute sechzig Minuten.

Die Maya fanden Stellenwert und Null unabhängig. Daten in der Langen Zählung erscheinen im Süden Mexikos ab dem 1. Jahrhundert v. Chr., und Stelen in Uaxactún, datiert auf 357, schreiben leere Stellen mit einem Nullzeichen.

Im späten Mittelalter rechnete man in Europa oft noch mit Messingpfennigen auf einem linierten Tuch.

Unsere Ziffern stammen aus Indien. 628 bestimmte Brahmagupta die Null als eine Zahl minus sich selbst und gab Regeln für das Rechnen mit ihr, auch wenn seine Regel, null geteilt durch null sei null, falsch ist. Das 1881 bei Peschawar gefundene Bakhshali-Manuskript schreibt die Null als Punkt; drei seiner Blätter, 2017 mit der Radiokarbonmethode datiert, reichen vom 3. bis ins 10. Jahrhundert, und das Alter des Textes ist umstritten. Die älteste unbestrittene datierte Null Indiens steht in Gwalior, aus dem Jahr 876.

Im Bagdad des 9. Jahrhunderts schrieb al-Chwarizmi ein Buch über das indische Rechnen, das nur auf Latein erhalten ist; aus seinem Namen wurde das Wort Algorithmus. Fibonacci lernte die Ziffern in Nordafrika und lehrte sie 1202 in seinem Liber abaci. 1299 verbannte die Zunft der Geldwechsler von Florenz sie aus ihren Geschäftsbüchern, und im Norden Europas blieb das Rechenbrett bis ins 16. Jahrhundert in Gebrauch.